Nieraz zdarza się nam słyszeć zwroty typu: los tak chciał, prawdopodobnie musiało tak być, to niezwykły przypadek, z dużą dozą prawdopodobieństwa można powiedzieć (niedawna wypowiedź premiera) itp.  Czy tego rodzaju wyrażenia mają w ogóle jakiś sens, coś wspólnego z realną oceną losowości i prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzenia. Spróbujmy się nad tym zastanowić i poddać choćby niewielkiej analizie zagadnienie losowości i prawdopodobieństwa rozpatrując bardzo prosty model przedstawiony poniżej. Na prostym przykładzie najłatwiej uchwycić ideę tych pojęć, które wymieniłem. Może przypadkowe zjawiska mają jakąś prawidłowość występowania, którą można zbadać i ustalić, dobrze je obserwując. Zobaczmy, jak to wygląda.
Każda moneta (także medal) ma dwie strony: tak zwany awers, którym jest główna, czołowa strona z napisem cyfrowym informującym o jej wartości, i rewers, to jest strona odwrotna, zwykle z symbolem państwa. Popularnie jedną stronę nazywamy reszką, a tę drugą – orłem. Znana jest powszechnie gra, spotykana przeważnie wśród dzieci, zwana orzeł czy reszka, a polegająca na podrzucaniu monetą i stwierdzaniu losowego wyniku gry.  Losujemy, ustalając, na przykład, kto ma pójść pierwszy na niebezpieczną wyprawę lub zrobić coś podobnego. Dlaczego tak postępujemy ? Intuicyjnie wyczuwamy, że skoro moneta ma dwie strony, to raz wypadnie orzeł, a raz reszka, choć oczywiście nie wiemy, co nastąpi na skutek rzutu.  O tym rozstrzyga los, czyli przypadek. Intuicja podpowiada nam, że szanse są jednakowe. Tymczasem, gdy rzucimy, na przykład 10 razy monetą, to, być może ze zdziwieniem, stwierdzamy, że los nie jest nam taki przychylny i nie wypada równa liczba orłów i reszek, czyli 5 na 5.  Nasze doświadczenie z rzucaniem monetą mówi nam, że mamy dwa możliwe jego wyniki, to jest tak zwane zdarzenia elementarne doświadczenia, w naszym przypadku: orzeł i reszka. W wyniku samego pojedynczego rzutu monetą możemy jednak otrzymać tylko jeden wynik: albo orła albo reszkę. Stosunek jeden do dwóch daje nam prawdopodobieństwo pojawienia się w efekcie rzutu któregoś z tych zdarzeń. Wychodząc poza takie proste, zwykłe rozumowanie, można powiedzieć, już bardziej precyzyjnie, że jako prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia losowego (możemy go nazwać np. A) przyjmujemy stosunek (iloraz) liczby zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu (oznaczmy to literą k) do liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych (wyników doświadczenia (liczbę tę zapisujemy literą n). Mamy zatem: prawdopodobieństwo zdarzenia A, P(A) = k/n,  co w naszym doświadczeniu z monetą daje liczbę ½ lub, jak kto woli, 0,5.
Skoro jednak nasze doświadczenie z rzucaniem monetą (gdy rzucamy 10 razy) nie potwierdza tego, że otrzymamy 5 do 10, czyli ½, to zachodzi pytanie, gdzie tkwi błąd ? Czy zawiodła nas intuicja, czy rozumowanie ?

Czego uczy doświadczenie ?

Sytuacja zapewne się polepszy, gdy zdecydujemy się rzucać, np. 100 razy. Wówczas wynik będzie (można się tego spodziewać), już lepszy, ale przypuszczalnie nie zadowoli nas w pełni, bo nie da też, najczęściej, dokładnie liczby 0,5 lub liczby bardzo zbliżonej do niej. Skoro jednak zauważyliśmy, że zwiększona liczba doświadczeń polepsza spodziewaną wartość teoretyczną, to tli się naturalna pokusa przeprowadzenia doświadczenia o znacznie większej liczbie rzutów. Nic więc dziwnego, że znaleźli się tacy pasjonaci, którzy ten zamiar wprowadzili w czyn. Aby jednak miał on swoją wartość i wiarogodność, to musiał być zarejestrowany i udokumentowany. Tak przeto, uczony francuski, autor „Historii naturalnej” Georges-Louis (Jerzy-Ludwik) Leclerc hrabia de Buffon (1707-1788)  rzucał monetą 4040 razy i otrzymał częstość względną ukazania się orła k/n (tzw. wskaźnik struktury) równą 0,5069 (ilość orłów była k=2048).  Natomiast uczony angielski, matematyk, filozof, biolog, współtwórca współczesnej statystyki,   Karl Pearson  (1857-1936) rzucał monetą rekordowo dużo, bo aż 24000 razy i otrzymał częstość pojawienia się orła k/n = 0,5005. Jak  widać, liczby wyrażające częstość zdarzenia w danym doświadczeniu niewiele się już różnią od 0,5. Zauważamy, że oczywiście wynik drugi jest lepszy od pierwszego, ale też stwierdzamy, co jest oczywiste, że drugi eksperyment miał znacznie większą liczbę przeprowadzonych rzutów. Nasuwa się więc prosty wniosek:  im większa liczba doświadczeń, tym lepszy jest rezultat eksperymentu.  Nie osiągnięto w prawdzie idealnego wyniku 0,5, ale też nikt nie mógł zagwarantować, że moneta była idealnie symetryczna. Można się wszakże spodziewać, że gdyby się zdobyto na wykonanie jeszcze większej liczby rzutów, to wynik końcowy byłby jeszcze lepszy. Idealnym eksperymentem byłoby wykonanie nieograniczonej, lub jak mówimy ściślej, nieskończonej liczby rzutów, a to prowadziłoby niechybnie do osiągnięcia upragnionej teoretycznej liczby 0,5.   Precyzując nasze rozważania, powiemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe granicy stosunku k/n, tj.  P(A) = lim (czytaj: limes)  k/n. 

Pouczający eksperyment

Ponieważ nie każdy ma czas, cierpliwość i warunki na rejestrowanie eksperymentu z tak dużą liczbą rzutów monetą, mogę zaproponować doświadczenie znacznie prostsze, a polegające na wykonaniu 10 serii po 10 rzutów monetą. Przedstawię tu wyniki przez siebie otrzymane. Każdy, eksperymentując, może otrzymać inne wyniki, ale końcowe wnioski będzie miał podobne.
Otrzymałem częstości względne pojawienia się orła w poszczególnych seriach:  0,6; 0,4; 0,5; 0,7; 0,4; 0,3; 0,8; 0,7; 0,4; 0,6.  Warto nanieść te wyniki na tzw. układ współrzędnych, tj. na osi poziomej zaznaczyć poszczególne numery serii od 1 do 10,  a na osi pionowej zaznaczyć wartości częstości : 0,1; 0,2;… 0,9; 1. Pary pierwszych i drugich liczb dadzą położenie punktów obrazujących nasze doświadczenie. Rysunek podkreśli istnienie dość dużych wahań w otrzymanych wartościach liczbowych.
Na tym jednak nie koniec. Obliczamy teraz częstości względne pojawienia się orła dołączając do każdej rozpatrywanej serii następną. Otrzymujemy w ten sposób 10, 20, 30, …, 90, 100 rzutów monetą i wówczas dla podanego wyżej przykładu następujące wyniki: 0,60; 0,50; 0,50; 0,55; 0,52; 0,45; 0,50; 0,53; 0,51; 0,52.  Różnice miedzy poszczególnymi wynikami nie są w tym wypadku już tak rażące ( można wykonać rysunek i dla tego eksperymentu) i zbliżają się wyraźnie do wartości 0,5 bez nagłych odchyleń od tej wartości. Zauważamy ponownie, że wraz ze zwiększeniem liczby wykonanych czynności częstość względna obserwowanego zdarzenia losowego wyraźnie zmierza ku określonej wartości wyrażonej nazwą prawdopodobieństwa tego zdarzenia.

Jaka z tego nauka ?

Jaka z tego wszystkiego, co przedstawione, nauka ?   Bardzo duża liczba wykonanych prób jest niezbędnym  warunkiem orzekania we wszelkich dywagacjach zatrącających o losowość (przypadkowość) występowania jakiegoś zdarzenia i jego prawdopodobieństwie. Inaczej mówiąc: prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia losowego odnosi się tylko do zjawiska występującego w tych samych warunkach wielką ilość razy (teoretycznie nieskończenie wiele razy).  Wyrażenia wymienione we wstępie felietonu można oceniać tylko jako wyraz wewnętrznego (psychologicznego) przekonania o realizacji jakiegoś wydarzenia. Zwroty te nie mają jednak nic wspólnego z rzeczową oceną sytuacji.    Należy o tym pamiętać.
W następnym artykule zastanowimy się nad tym, czy prawidłowości  stochastyczne zauważone na drodze rozważań matematyczno-statystycznych mogą mieć pewną interpretację w zjawiskach przyrodniczych lub społecznych.